Question

已知等边ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或延长其边）的距离分别为h1,h2,h3,三角形的高H,在图

Answer 1

设a为正△ABC边长;

(1)当P为△ABC内一点时,连接P与各顶点,得△PAB,△PAC,△PBC.此3个△的面积和等于△ABC的面积;

而△PAB=1/2*a*h1,△PAC=1/2*a*h2,△PBC=1/2*a*h3,△ABC=1/2*a*h,

又因S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC,即

1/2*a*h1+1/2*a*h2+1/2*a*h3=1/2*a*h;

化简,得:h1+h2+h3=h.

(2)当P为△ABC外一点时,方法同上,可得:h1+h2+h3>h.

也可以分别讨论点P的具体位置(例如:AB的一侧或AB的延长线上等等),根据△的面积关系,可得出具体的数量关系(例如:h1+h2-h3=h等等)