Question

A为n*n矩阵,A的3次方=E,证明R（A-E)+R(A^2+A+E)=n

Answer 1

因为 (A-E)(A^2+A+E)=A^3-E=0

所以 A^2+A+E 的列向量都是 (A-E)X=0 的解

反之,设α为(A-E)X=0的任一解

则 (A-E)α=0.

即有 Aα=α.

所以 (A^2+A+E)[(1/3)α] = (1/3)(α+α+α) = α.

故 α 可由 A^2+A+E 的列向量组线性表示

所以A^2+A+E 的列向量组与 (A-E)X=0 的基础解系等价

所以 r(A^2+A+E) = n-r(A-E)

即 r(A-E)+r(A^2+A+E)=n