已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标洗中,点A (11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P

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  • (Ⅰ)根据题意,∠OBP=90 °,OB=6 ,

    在Rt △OBP 中,由∠BOP=30 °,BP=t ,得OP=2t,

    ∵OP 2=OB 2+BP 2

    即(2t ) 2=6 2+t 2

    解得:t 1=

    ,t 2=-

    (舍去),

    ∴点P 的坐标为(

    ,6);

    (Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,

    ∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP ,

    ∴∠OPB ′= ∠OPB ,∠QPC ′= ∠QPC,

    ∵∠OPB ′+ ∠OPB+ ∠QPC ′+ ∠QPC=180 °,

    ∴∠OPB+ ∠QPC=90 °,

    ∵∠BOP+ ∠OPB=90 °,

    ∴∠BOP= ∠CPQ,

    又∵∠OBP= ∠C=90 °,

    ∴△OBP ∽△PCQ,

    由题意设BP=t ,AQ=m ,BC=11 ,AC=6 ,则PC=11-t ,CQ=6-m,

    (0 <t <11 ).

    (Ⅲ)过点P 作PE ⊥OA 于E ,

    ∴∠PEA= ∠QAC ′=90 °,

    ∴∠PC ′E+ ∠EPC ′=90 °,

    ∵∠PC ′E+ ∠QC ′A=90 °,

    ∴∠EPC ′= ∠QC ′A ,

    ∴△PC ′E ∽△C ′QA,

    ∴PE AC ′ =PC ′ C ′Q,

    ∵PC ′=PC=11-t ,PE=OB=6 ,AQ=m ,C ′Q=CQ=6-m ,

    ∴AC ′=

    ∵m=

    解得:t 1=

    ,t 2=

    点P 的坐标为(

    ,6 )或(

    ,6)。