求证:两条平行线和同一个平面所成的角相等.

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  • 解题思路:分两条平行线与平面α的位置关系进行讨论,当两条平行线与平面斜交时,在平面的同一侧两条直线上各取一点作平面的垂线,由线面垂直的性质得到线线平行,结合已知条件由等角定理证得答案.

    证明:设两平行线为a,b,平面为α.

    ①a,b都平行于α或都在α内,或一条与α平行,另一条在α内时,a,b和α所成的角都等于0°,

    ∴a,b与α成等角;

    ②a,b都和α垂直时,a,b和α所成的角都等于90°,

    ∴a,b与α成等角;

    ③a,b和α斜交时,如图,

    设a∩α=A,b∩α=B,

    在a,b上分别取点C,D,使C,D在α的同侧,

    作CE⊥α于E,DF⊥α于F,则CE‖DF,

    连结AE,BF,则直线AE,BF分别是a,b在α内的射影,

    ∴∠CAE,∠DBF分别是a,b和α所成的角.

    ∵a‖b,CE‖DF,且∠ACE和∠BDF的方向相同,

    ∴∠ACE=∠BDF,

    ∴∠CAE=∠DBF,即斜线a,b和α所成的角相等.

    综上所述,两条平行线和同一平面所成的角相等.

    点评:

    本题考点: 直线与平面平行的性质.

    考点点评: 本题考查了线线平行的判断,考查了线面垂直的性质,考查了分类讨论的数学思想方法,是中档题.