Question

已知函数f（x）=ax+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），其反函数f-1（x）的图象过点（8，2）．（1）求a

Answer 1

解题思路：（1）由函数f（x）=ax+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），f（-1）=a-1+k=1，解得k=1．函数f（x）=ax+k反函数f-1（x）的图象过点（8，2），知a2+k=8，解得a=2．（2）由（1）得f（x）=2x+1，所以f-1（x）=log2x-1．由此解得g（x）=log2（x+2）．（x＞-2）（3）由f（x）=g（x2）-f-1（x），知f（x）=log2x2+2x+1＝log2(x+2x)+1，由此能求出当且仅当x＝2时取F(x)min＝F(2)＝log222+1＝52．

（1）∵函数f（x）=a^x+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），

∴f（-1）=a^-1+k=1，

解得k=1．

∵函数f（x）=a^x+k反函数f^-1（x）的图象过点（8，2），

∴函数f（x）=a^x+k的图象过点（2，8），

∴a^2+k=8，即a³=8，

∴a=2．

（2）由（1）得f（x）=2^x+1，

∴f^-1（x）=log₂^x-1．

将y=f^-1（x）的图象向左移2，向上移1得f^-1（x+2）-1=log₂（x+2），

∴g（x）=log₂（x+2）．（x＞-2）

（3）f（x）=g（x²）-f^-1（x）

=log₂（x²+2）-log₂^x+1（x＞0）

=log2

x2+2

x+1＝log2(x+

2

x)+1，

∴x＞0，

∴x+

2

x≥2

2，

当且仅当x＝

2时取

∴F(x)min＝F(

2)＝log22

2+1＝

5

2．

点评：

本题考点： 反函数；函数的图象与图象变化；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考查反函数的性质和应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．