解题思路：（1）①由三角形ABC与三角形ADE都为等边三角形，得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
②由①的全等三角形对应边相等得到∠ABE=∠ACD=60°，进而得到一对同旁内角互补，确定出EB与FC平行，再由EF与BC平行，利用两对对应边分别平行的四边形为平行四边形即可得证；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上运动时，（1）的两个结论依然成立，证明同理；
（3）当点D运动到CD=BC时，四边形BCFE是菱形，理由为：由三角形ABE与三角形ACD全等，得到BE=CD，等量代换得到BC=BE，而四边形BCFE为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．
（1）①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠EAB=∠CAD，
在△AEB和△ADC中，
AE=AD
∠BAE=∠CAD
AB=AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；
②四边形BCFE是平行四边形，
理由：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ACD=∠BAC=∠ABE=60°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠EBC+∠ACD=180°，
∴BE∥CF，
又∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形；
（2）①△AEB≌△ADC；②四边形BCFE是平行四边形均成立；
①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD-∠EAF=∠BAC-∠EAF，即∠EAB=∠CAD，
在△AEB和△ACD中，
AE=AD
∠BAE=∠CAD
AB=AD，
∴△AEB≌△ACD（SAS）；
②四边形BCFE是平行四边形，
理由：由①得△AEB≌△ACD，
∴∠ADC=∠AEB，
又∵∠ADE=∠ADC+∠BDE=60°，
∴∠AEB+∠BDE=60°，
∵BC∥EF，
∴∠BDE=∠DEF，
∴∠AEB+∠DEF=60°，
∴∠BEF+∠F=180°，
∴BE∥CF，
又∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形；
（3）当点D运动到CD=BC时，四边形BCFE是菱形，
理由：∵△AEB≌△ADC，
∴CD=BE，
又∵CD=BC，
∴BE=BC，
∵四边形BCFE是平行四边形，
∴四边形BCFE是菱形．
点评：
本题考点： 四边形综合题．
考点点评： 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质，以及菱形的判定，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．