设f(x)满足2f(x)+2f(X分之1)=4x,求f(x)的解析式

1个回答

  • f(x)满足2f(x)+(x^2)f(1/x)=x+1/x+2,f(x)=?

    x与1/x 互为倒数,将1/x替换式中x有 :

    2f(1/x)+(1/x^2)f(x)=[(1/x)+1)]/[(1/x)+2)]=(x+1)/(2x+1),(分子分母同乘: x)

    二边同乘上:x^2,得:

    2(x^2)f(1/x)+f(x)=x^2(x+1)/(2x+1),...(1)(我认为参考答案中这一步的右边错了.)

    原式:2f(x)+(x^2)f(1/x)=(x+1)/(x+2).(2)

    把(1)、(2)联立方程组,解关于f(x),f(1/x)的二元一次方程.

    (2)*2得:4f(x)+2(x^2)f(1/x)=2(x+1)/(x+2)...(3)

    (3)-(1)得:3f(x)=2(x+1)/(x+2)-x^2(x+1)/(2x+1)

    =[2(x+1)(2x+1)-x^2(x+1)(x+2)]/(x+2)(2x+1)

    =[2(2x^2+3x+1)-x^2(x^2+3x+2)]/(x+2)(2x+1)

    =[4x^2+6x+2-x^4-3x^3-2x^2)/(x+2)(2x+1)

    =-(x^4+3x^3-2x^2-6x-2)/(x+2)(2x+1)

    即:f(x)=-(x^4+3x^3-2x^2-6x-2)/[3(x+2)(2x+1)]