Question

高中数学,整实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则1/x2+1/y2+1/z2的最小值是多少

Answer 1

∵x2+y2+z2=1,

∴1/x²+1/y²+1/z²

=（1/x²+1/y²+1/z²)(x²+y²+z²)

=1+1+1+x²/y²+x²/z²+y²/x²+y²/z²+z²/x²+z²/y²

=3+(x²/y²+y²/x²)+(x²/z²+z²/x²)+(z²/y²+y²/z²)

∵x²/y²+y²/x²≥2 x²/z²+z²/x²≥2,z²/y²+y²/z²≥2

∴3+(x²/y²+y²/x²)+(x²/z²+z²/x²)+(z²/y²+y²/z²)≥9

当且仅当x=y=z=√3/3时,等号成立

即1/x²+1/y²+1/z²最小值为9