Question

双曲线C：x2-y2=2右支上的弦AB过右焦点F．

Answer 1

解题思路：（1）利用点差法，可求求弦AB的中点M的轨迹方程；

（2）以AB为直径的圆过原点O，可得OA⊥OB得：x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理，即可得出结论．

（1）设M（x，y），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，

两式相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，

∴2x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，

∴

y1−y2

x1−x2=[x/y]，

∵双曲线C：x²-y²=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），

∴[y/x−2＝

x

y]，

化简可得x²-2x-y²=0，（x≥2）-------（6分）

（2）假设存在，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l_AB：y=k（x-2）

由已知OA⊥OB得：x₁x₂+y₁y₂=0，

∴(1+k2)x1x2−2k2(x1+x2)+4k2＝0---------①

x2−y2＝2

y＝k(x−2)⇒(1−k2)x2+4k2x−4k2−2＝0，

所以x1+x2＝

4k2

k2−1，x1x2＝

4k2+2

k2−1（k²≠1）--------②

联立①②得：k²+1=0无解

所以这样的圆不存在．-----------------------（14分）

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查轨迹方程，考查点差法的运用，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．