解题思路:(1)易得MB和DM分别是直角三角形ABG和直角三角形ADG斜边上的中线,都等于AG的一半,那么BM=DM.
(2)把∠BMD进行合理分割,应用外角等于内角和,得到∠BMD与∠BAD之间的关系,进而得到与∠ACB即∠α之间的关系,当∠α=45°时,∠BMD=90°,那么△BMD为等腰直角三角形.
(3)通过类比思想可猜想MB与MD的数量关系和∠BMD的大小结论依然成立.那么只有当∠α=60°时,△BMD为等边三角形.
(1)MB=MD,
证明:∵AG的中点为M∴在Rt△ABG中,MB=[1/2]AG
在Rt△ADG中,MD=[1/2]AG
∴MB=MD.
(2)∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM,
同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM,
∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC,
而∠BAC=90°-α,
∴∠BMD=180°-2α,
∴当α=45°时,∠BMD=90°,此时△BMD为等腰直角三角形.
(3)当△CGD绕点C逆时针旋转一定的角度,仍然存在MB=MD,
∠BMD=180°-2α,
故当α=60°时,△BMD为等边三角形.
解法:延长DM至N,使MN=DM,连AN、BN、BD,则有AN=DH,∠NAM=∠DHM
∵∠1=∠AHD+∠2
∴∠BAM+90°=∠AHD+90°-∠DCB,
∴∠NAB=∠DCB,
∵∠CDH=∠ABC=90°,∠DCH=∠BCA,
∴△CDH∽△CBA,
∴DH:AB=CD:BC,
∴AN:AB=CD:BC,
∴△NAB∽△DCB,
∴∠NBA=∠DBC
∴∠NBD=90°,
∴BM=MD,
由△NAB∽△DCB得NB:AB=BD:BC
∴△NBD∽△ABC,
∴∠BNM=∠BAC,
∵∠BMD=2∠BNM
∴∠BMD=2(90°-α)=180°-2α.
点评:
本题考点: 旋转的性质;三角形内角和定理;等边三角形的判定;直角三角形斜边上的中线;轴对称的性质.
考点点评: 此题是一道集剪接、平移、旋转为一体的直线形操作探究题,学生可以用自己身边的直观模型(将一矩形纸片剪开,得到两个全等的直角三角形纸片),按照第(1)问中的操作要求实际进行操作演示,在操作、观察、度量的基础上再进行论证,较好地体现了从感性认识到理性认识的思维过程.第(2)问运用直线形的有关知识不难得出结论.第(3)问必须在第(1)、(2)问的基础上再进行观察、猜想、归纳、总结出一般规律.此题既考查了直线形的有关知识,又考查了学生操作、观察、验证、推理的能力,不愧是一道独具匠心的试题.它给我们的启示是:在平时教学中要多给学生提供从事数学活动的机会,积极引导学生参与实践操作活动,培养他们的积极动手、乐于探究的意识.