小华将一张矩形纸片(如图1)沿对角线CA剪开,得到两张三角形纸片(如图2),其中∠ACB=α,然后将这两张三角形纸片按如

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  • 解题思路:(1)易得MB和DM分别是直角三角形ABG和直角三角形ADG斜边上的中线,都等于AG的一半,那么BM=DM.

    (2)把∠BMD进行合理分割,应用外角等于内角和,得到∠BMD与∠BAD之间的关系,进而得到与∠ACB即∠α之间的关系,当∠α=45°时,∠BMD=90°,那么△BMD为等腰直角三角形.

    (3)通过类比思想可猜想MB与MD的数量关系和∠BMD的大小结论依然成立.那么只有当∠α=60°时,△BMD为等边三角形.

    (1)MB=MD,

    证明:∵AG的中点为M∴在Rt△ABG中,MB=[1/2]AG

    在Rt△ADG中,MD=[1/2]AG

    ∴MB=MD.

    (2)∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM,

    同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM,

    ∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC,

    而∠BAC=90°-α,

    ∴∠BMD=180°-2α,

    ∴当α=45°时,∠BMD=90°,此时△BMD为等腰直角三角形.

    (3)当△CGD绕点C逆时针旋转一定的角度,仍然存在MB=MD,

    ∠BMD=180°-2α,

    故当α=60°时,△BMD为等边三角形.

    解法:延长DM至N,使MN=DM,连AN、BN、BD,则有AN=DH,∠NAM=∠DHM

    ∵∠1=∠AHD+∠2

    ∴∠BAM+90°=∠AHD+90°-∠DCB,

    ∴∠NAB=∠DCB,

    ∵∠CDH=∠ABC=90°,∠DCH=∠BCA,

    ∴△CDH∽△CBA,

    ∴DH:AB=CD:BC,

    ∴AN:AB=CD:BC,

    ∴△NAB∽△DCB,

    ∴∠NBA=∠DBC

    ∴∠NBD=90°,

    ∴BM=MD,

    由△NAB∽△DCB得NB:AB=BD:BC

    ∴△NBD∽△ABC,

    ∴∠BNM=∠BAC,

    ∵∠BMD=2∠BNM

    ∴∠BMD=2(90°-α)=180°-2α.

    点评:

    本题考点: 旋转的性质;三角形内角和定理;等边三角形的判定;直角三角形斜边上的中线;轴对称的性质.

    考点点评: 此题是一道集剪接、平移、旋转为一体的直线形操作探究题,学生可以用自己身边的直观模型(将一矩形纸片剪开,得到两个全等的直角三角形纸片),按照第(1)问中的操作要求实际进行操作演示,在操作、观察、度量的基础上再进行论证,较好地体现了从感性认识到理性认识的思维过程.第(2)问运用直线形的有关知识不难得出结论.第(3)问必须在第(1)、(2)问的基础上再进行观察、猜想、归纳、总结出一般规律.此题既考查了直线形的有关知识,又考查了学生操作、观察、验证、推理的能力,不愧是一道独具匠心的试题.它给我们的启示是:在平时教学中要多给学生提供从事数学活动的机会,积极引导学生参与实践操作活动,培养他们的积极动手、乐于探究的意识.

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