在正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 - 知识问答

在正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，E、F分别是BB 1 、CD的中点.

1个回答

(1)证明略 (2) 当
=
时，A₁M⊥平面ADE
建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，
不妨设正方体的棱长为2，
则A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
设平面AED的法向量为n₁=（x₁，y₁，z₁），
则n₁·
=（x₁，y₁，z₁）·（2，0，0）=0，
n₁·
=（x₁，y₁，z₁）·（2，2，1）=0，
∴2x₁=0，2x₁+2y₁+z₁=0.
令y₁=1,得n₁=(0,1,-2),
同理可得平面A₁FD₁的法向量n₂=(0,2,1).
∵n₁·n₂=0，∴n₁⊥n₂,
∴平面AED⊥平面A₁FD₁.
（2）解由于点M在直线AE上，
设
=
=
（0，2，1）=（0，2
，
）.
可得M（2，2
，
），∴
=（0，2
，
-2），
∵AD⊥A₁M，∴要使A₁M⊥平面ADE，
只需A₁M⊥AE，
∴
·
=（0，2
，
-2）·（0，2，1）=5
-2=0，
解得
=
.
故当
=
时，A₁M⊥平面ADE.

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