如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90° - 知识问答

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC 1 D

1个回答

（1）D₁E=D₂F．
∵C₁D₁∥ C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁
∴∠C₁=∠A，
∴∠AFD₂=∠A
∴AD₂=D₂F．
同理：BD₁=D₁E．
又∵AD₁=BD₂，
∴AD₂=BD₁．
∴D₁E=D₂F．
（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10．
即AD₁=BD₂=C₁D₁=C₂D₂=5
又∵D₂D₁=x，
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x．
∴C₂F=C₁E=x
在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距离就是△ABC的AB边上的高，为
24
5 ．
设△BED₁的BD₁边上的高为h，
由探究，得△BC₂D₂∽ △BED₁，
∴
h
24
5 =
5-x
5 ．
∴h=
24(5-x)
25 ．S_△BED1=
1
2 ×BD₁×h=
12
25 （5-x）²
又∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90度．
又∵∠C₂=∠B，sinB=
4
5 ，cosB=
3
5 ．
∴PC₂=
3
5 x，PF=
4
5 x，S_△FC2P=
1
2 PC₂×PF=
6
25 x²
而y=S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P=
1
2 S_△ABC-
12
25 （5-x）²-
6
25 x²
∴y=-
18
25 x²+
24
5 x（0≤x≤5）．
（3）存在．
当y=
1
4 S_△ABC时，即-
18
25 x²+
24
5 x=6，
整理得3x²-20x+25=0．
解得，x₁=
5
3 ，x₂=5．
即当x=
5
3 或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的
1
4 ．

相关问题