Question

设实数a,b使方程x4+ax3+bx²+ax+1=0有实根,求a²+b²的最小值.

Answer 1

显然x=0时方程有1=0,矛盾

表明x≠0

将方程两边同时除以x^2

则(x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0

即(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0

因x有解,则x+1/x有解

则⊿=a^2-4(b-2)≥0

即a^2≥4b-8

所以a^2+b^2

≥b^2+4b-8

=(b+2)^2-12

≥-12

即(a^2+b^2)min=-12