Question

矩阵相似的几何意义是什么,同一变换在不同基下的描述,具体是什么意思,能说的容易懂点吗?谢谢了

Answer 1

矩阵A与B相似, 即存在可逆矩阵P, 满足 P^-1AP = B.

基本结论: 相似矩阵的特征多项式相同

推论: 相似矩阵特征值相同, 行列式相同, 迹也相同 (此推论常用, 需记住)

两个常用结论: A的行列式等于A的全部特征值之积

A的迹等于A的全部特征值之和

计算B的特征值: |B-λE| = -(1-λ)^2(1+λ)

所以B的特征值为: 1,1,-1

由A与B相似知 A的特征值为1,1,-1

所以 A-2E 的特征值为 1-2=-1,1-2=-1, -1-2=-3.

故 A-2E 可逆. [ A可逆的充分必要条件之一是 A的特征值都不为0 ]

同样有 A-E 的特征值为: 1-1=0, 1-1=0, -1-1 = -2

故 r(A-E) = 1 [ 别问为什么, 会用就行, 它的秩等于它非零特征值的个数 ]

所以 R(A-2E)+R(A-E) = 3+1 = 4.