Question

（2014•江苏模拟）已知数列{an}满足3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n项和为Sn，则满足不等式|S

Answer 1

解题思路：首先根据题意，将3a_n+1+a_n=4变形为3（a_n+1-1）=-（a_n-1），可得{a_n-1}是等比数列，结合题意，可得其前n项和公式，进而可得|S_n-n-6|=（[1/3]）ⁿ；依题意，有|S_n-n-6|＜[1/125]，解可得n＞7；进而可得答案．

根据题意，3a_n+1+a_n=4，化简可得3（a_n+1-1）=-（a_n-1）；

则{a_n-1}是首项为a_n-1=8，公比为-[1/3]的等比数列，

进而可得s_n-n=

8[1−(−

1

3)n]

1−(−

1

3)=6[1-（-[1/3]）ⁿ]，即|S_n-n-6|=6×（-[1/3]）ⁿ；

依题意，|S_n-n-6|＜6×[1/125]即（-[1/3]）ⁿ＜[1/750]，且n∈N^*，

分析可得n＞7；即满足不等式|S_n-n-6|＜[1/750]的最小正整数n是7；

故答案为7．

点评：

本题考点： 数列的应用；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的应用，解题时注意将3an+1+an=4转化为3（an+1-1）=-（an-1），进而利用等比数列的相关性质进行解题．