解题思路:(1)经过1秒后,PB=2m,PC=8m,CQ=6m,由已知可得BD=PC,BP=CQ,∠ABC=∠ACB,即据SAS可证得△BPD≌△CQP.
(2)可设点Q的运动时间为ts△CPQ是等腰三角形,则可知PB=2tcm,PC=8-3tcm,CQ=xtcm,据(1)同理可得当BD=PC,BP=CQ或BD=CQ,BP=PC时△CPQ为等腰三角形,从而求得t的值.
(1),△BPD与△CQP是全等.理由如下:
当P,Q两点分别从B,A两点同时出发运动2秒时
有BP=2×2=4cm,AQ=4×2=8cm
则CP=BC-BP=10-4=6cm
CQ=AC-AQ=12-8=4cm…(2分)
∵D是AB的中点
∴BD=[1/2]AB=[1/2]×12=6cm
∴BP=CQ,BD=CP …(3分)
又∵△ABC中,AB=AC
∴∠B=∠C …(4分)
在△BPD和△CQP中
BP=CQ
∠B=∠C
BD=CP
∴△BPD≌△CQP(SAS)…(6分)
(2)设当P,Q两点同时出发运动t秒时,
有BP=2t,AQ=4t
∴t的取值范围为0<t≤3
则CP=10-2t,CQ=12-4t…(7分)
∵△CPQ的周长为18cm,
∴PQ=18-(10-2t)-( 12-4t)=6t-4…(8分)
要使△CPQ是等腰三角形,则可分为三种情况讨论:
①当CP=CQ时,则有10-2t=12-4t
解得:t=1…(9分)
②当PQ=PC时,则有6t-4=10-2t
解得:t=[7/4]…(10分)
③当QP=QC时,则有6t-4=12-4t
解得:t=[8/5]…(11分)
三种情况均符合t的取值范围.
综上所述,经过1秒或[7/4]秒或[8/5]秒时,△CPQ是等腰三角形…(12分)
点评:
本题考点: 全等三角形的判定与性质;一元一次方程的应用;等腰三角形的判定与性质.
考点点评: 本题主要考查了全等三角形全等的判定,涉及到等腰三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.