Question

一道数学难题已知f（x）=lnx,g(x)=x是否存在实数k,使方程0.5g(x^2)-f(1+x^2)=k有4个不同的

Answer 1

0.5g(x²) = 0.5x²

f(1 + x²) = ln(1 + x²)

令h(x) = 0.5g(x²) - f(1 + x²) = x²/2 - ln(1 + x²)

h'(x) = x - 2x/(1 + x²)

= x(x² - 1)/(1 + x²) = 0

x = 0,x = 1,x = -1

x < -1:h'(x) < 0,减函数

-1 < x < 0:h'(x) > 0,增函数

0 < x < 1:h'(x) < 0,减函数

x > 1:h'(x) > 0,增函数

h(x)的最小值:h(-1) = h(1) = 1/2 - ln2

最大值h(0) = 0

x趋近于±∞时,h(x)趋近于+∞

显然h(x)是偶函数,要使方程0.5g(x²)-f(1+x²)=k有4个不同的实数根,须1/2 - ln2 < k < 0

k = 0时,有3个不同的实数根

k = 1/2 - ln2时,有2个不同的实数根

k > 0时,有2个不同的实数根

k < 1/2 - ln2时,无实数根