Question

设f（x2-1）=lnx2x2−2，且f[φ（x）]=lnx，求∫φ（x）dx．

Answer 1

解题思路：令t=x²-1求解得到f（x）的表达式，然后可得到φ（x）的表达式，最后根据不定积分的求解方法可解该题．

t=x²-1，则x²=t+1；

因此：f（x²-1）=ln

x2

x2−2=f（t）=ln

t+1

t−1

即：f（x）=ln

x+1

x−1

所以：f（φ（x））=ln

φ(x)+1

φ(x)−1=lnx；

因此有：

φ(x)+1

φ(x)−1=x；

解得：φ（x）=[x+1/x−1]；

∫φ（x）dx=∫[x+1/x−1]dx

=∫

x−1+2

x−1dx

=∫dx+∫

2

x−1dx

=x+2ln（x-1）+C；

综上分析，可知：φ（x）=x+2ln（x-1）+C

点评：

本题考点： 原函数与不定积分的关系；不定积分的运算法则．

考点点评： 本题主要考察不定积分的运算，属于基础题．