解题思路：（1）首先考虑函数的定义域优先原则求出定义域，然后对函数求导，即可得到单调增区间，
（2）分离参数，构造函数g（x）=xlnx+[1/x]，求出函数的最小值即可．
（1）由题意可知函数的定义域为：（0，+∞）
f′（x）=x（2lnx+1），
令f′（x）＞0，得2lnx+1＞0，即x＞
e
e
令f′（x）＜0，得2lnx+1＜0，即0＜x＜
e
e，
所以函数f（x）的递减区间是（0，
e
e）．函数的单调增区间为（
e
e，+∞）．
（2）由题意可得，关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，
∴f（x）-kx+1=0，
即x2lnx-kx+1=0．
∴k=xlnx+[1/x]
设g（x）=xlnx+[1/x]，
则g′（x）=lnx+
x2−1
x2，
∴g′（1）=0，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以当x=1时，g（x）min=g（1）=1，
所以k≥1，
故k的取值范围是[1，+∞）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查了方程的根与函数零点间的关系，构造函数解决零点存在性问题的方法，导数在函数单调性和极值中的应用，转化化归的思想方法