Question

已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴正半轴于点B，

Answer 1

解题思路：（1）由垂直关系可得k_AB=

−

3

2

，由AB过点P（6，4）可得点斜式方程，化为一般式可得；

（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，可得△OAB面积为S=[1/2]×[5a/a−1]×4a=

10

a

2

a−1

，即10a²-Sa+S=0，由判别式△=S²-40S≥0可得S≥40，即S的最小值等于40，代入解此时的方程可得B坐标．

（1）∵点P（6，4），∴k_OP=[2/3]，

∵OP⊥AB，∴k_AB=−

3

2，

∵AB过点P（6，4），

∴AB的方程为y-4=−

3

2（x-6）

化为一般式可得：3x+2y-26=0

（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，

则直线PA的斜率为[4a−4/a−6]=[0−4/b−6]，解得b=[5a/a−1]，故B的坐标为（[5a/a−1]，0），

故△OAB面积为S=[1/2]×[5a/a−1]×4a=

10a2

a−1，即10a²-Sa+S=0．

由题意可得方程10a²-Sa+S=0有解，故判别式△=S²-40S≥0，S≥40，

故S的最小值等于40，此时方程为a²-4a=4=0，解得a=2．

综上可得，△OAB面积的最小值为40，

当△OAB面积取最小值时点B的坐标为（10，0）．

点评：

本题考点： 直线的一般式方程．

考点点评： 本题考查直线的一般式方程的应用，直线的斜率公式，一元二次方程有解的条件，属基础题．