Question

△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则 cosA+cosC=______．

Answer 1

解题思路：由题意可得 2b=a+c，设C为最大角，则A为最小角，可得C=2A，且 0＜A＜[π/3]．再由正弦定理可得2sin3A=sinA+sin2A，

化简可得 2cosA=5-8sin²A=5-8（1-cos²A ），解得cosA 的值，即可得到cosA+cosC的值．

△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．

设C为最大角，则A为最小角，再由最大角是最小角的2倍，可得C=2A，且 0＜A＜[π/3]．

再由正弦定理可得 2sinB=sinA+sin2A，∴2sin（π-3A）=sinA+sin2A，即2sin3A=sinA+sin2A，

2（3sinA-4sin³A）=sinA+2sinAcosA，化简可得 2cosA=5-8sin²A=5-8（1-cos²A ），

解得cosA=[3/4]，cosA=-[1/2]（舍去）．

则 cosA+cosC=cosA+cos2A=cosA+2cos²A-1=[3/4]+2×[9/16]-1=[7/8]，

故答案为 [7/8]．

点评：

本题考点： 等差数列的性质；解三角形．

考点点评： 本题主要考查等比数列的定义和性质，正弦定理、倍角公式的应用，属于中档题．