Question

如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°。

Answer 1

（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA

∴△ACO是等边三角形

∴∠AOC=60°

（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径

∴CP⊥OC

∴∠P=90°-∠AOC=30°

∴PO=2CO=8；

（3）如图，

①作点C关于直径AB的对称点M ₁，连接AM ₁，OM ₁

易得

，∠AOM ₁=60°

∴

×60°=

，

∴当点M运动到M ₁时，S _△MAO=S _△CAO，此时点M经过的弧长为

，

②过点M ₁作M ₁M ₂∥AB交⊙O于点M ₂，连接AM ₂，OM ₂，

易得

=S _△CAO
∴∠AOM ₁=∠M ₁OM ₂=∠BOM ₂=60°

∴

或

∴当点M运动到M ₂时，S _△MAO=S _△CAO，此时点M经过的弧长为

，

③过点C作CM ₃∥AB交⊙O于点M ₃，连接AM ₃，OM ₃，

易得

=S _△CAO
∴∠BOM ₃=60°，

∴

或

∴当点M运动到M3时，S _△MAO=S _△CAO，此时点M经过的弧长为

，

④当点M运动到C时，M与C重合，S _△MAO=S _△CAO，

此时点M经过的弧长为

或

。