证明：
（一）
令正方体边长为a,连接A1B,A1D,
则A1B=√(A1A²+AB²)=√(a²+a²)=a√2,
A1D=√(A1A²+AD²)=√(a²+a²)=a√2,
∴A1B=A1D
∴A1BD为等腰三角形
又：底面ABCD为正方形 .【正方体的性质】
AC、BD为正方形ABCD的对角线
∴OB=OD.【正方形的对角线互相垂直平分】
∴AO是等腰三角形A1BD底边的中线
∴A1O⊥BD
连接A1F,OF
∵F是CC1的中点
∴FC=FC1=a/2
又：A1C1=AC=√(a²+a²)=a√2
OC=AC/2=a√2/2
A1F²=A1C1²+FC1²=2a²+(a/2)²=9a²/4
OF²=OC²+FC²=(a√2/2)²+(a/2)²=3a²/4
A1O²=A1A²+AO²=a²+(a√2/2)²=3a²/2
∴A1O²+OF²=A1F²
∴A1O⊥OF
∵A1O⊥BD,A1O⊥OF
∴A1O⊥平面BDF
（二）
∵A1O在平面AA1C上
又：A1O⊥平面BDF
∴平面BDF⊥平面AA1C