（1）因为抛物线方程为：y＝X^2＋4X
配方得：y＝(X＋2)^2－4,
所以抛物线的顶点坐标为（－2,－4）. 即A的坐标为（－2,－4）
（2）令y＝0,解得X＝0或－4,
所以B点坐标为（－4,0）,
因为A点到X轴距离是4
所以根据勾股定理得：AB＝OA＝2√5
情形一：若以A、B、O、P为顶点的四边形是菱形
因为OB＝4＜2√5,所以OB＜AB＝OA
所以AB、OB或OA、OB不能同时作为菱形的边
所以只能是OA、AB作为菱形的两边,OB作为菱形的对角线
所以P点是A点关于X轴的对称点
所以P点坐标为P1（－2,4）
（因为此时OP1//AB,所以P1一定在直线L上）
情形二：若以A、B、O、P为顶点的四边形是等腰梯形
因为OB＝4＜2√5,所以OB＜AB＝OA
所以只能是OB作为梯形的一腰
容易求出直线L的解析式是Y＝－2X
因为P在L上,所以可设其坐标是P（X,－2X）
因为PA＝OB＝4,A点坐标是（－2,－4）
所以根据勾股定理得：
(X＋2）^2＋(－2X＋4)^2＝16
解得：X＝2/5或X＝2
因为当X＝2时,四边形ABOP是平行四边形,不合题意
所以X＝2/5
此时P的坐标是P2（2/5,－4/5）
情形三：若以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形
显然只能是AB作为梯形的下底
过A、B分别作L的垂线,垂足分别为P4、P3（两点坐标均可表示为（X,－2X））
设O到AB的距离是H,根据三角形面积公式可得下列等式：AB*H＝OB*4
所以H＝8√5/5,即AP4＝AP3＝8√5/5
根据勾股定理得：OA^2＝AP4^2＋OP3^2
将OA＝2√5,AP4＝8√5/5代入得：OP4＝6√5/5
所以得5X^2＝36/5,X＝6/5（－6/5舍去）
所以此时P点坐标为P4（6/5,－12/5）
同理可求出P3（4/5,－8/5）
即以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形时P点坐标是P3（4/5,－8/5）或P4（6/5,－12/5）
（3）
因为直线L的解析式是：y＝－2X,P的坐标伟（X,－2X),
此时以A、B、O、P为顶点的四边形可以看着是一个梯形,
上底为OP＝√5|X|,下底为AB＝2√5,高为H＝8√5/5,
所以S＝(√5|X|＋2√5)*(8√5/5)/2
＝4|X|＋8
所以有：4＋6√2＜4|X|＋8＜6＋8√2
所以：3√2/2－1＜|X|＜2√2－1/2
所以当X＞0时,X的取值范围是3√2/2－1＜X＜2√2－1/2
当X＜0时,3√2/2－1＜－X＜2√2－1/2
所以：X＜1－3√2/2或X＞1/2－2√2
所以当X＜0时,X的取值范围是：1/2－2√2＜X＜1－3√2/2