数学 证明 相似三角形预备定理
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仅用相似三角形的定义证明该定理
相似三角形预备定理：平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
△ABC,DE‖BC,交AB于D,交AC于E
DE‖BC,
同位角相等所以,
∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∠A=∠A,
△ABC∽△ADE,
AB:AC:BC=AD:AE:DE.
那就用后边的吧:
一条线段与间距相等的一组平行线相交,平行线将该线段等分.——公理还是定理记不请了.
一组平行线与两条线段相交,平分一条线段则平分另一条线段.——也是定理了.
设△ABC,B'C'‖BC,交AB于B',交AC于C',
做一组平行于BC的线段,当然也平行于B'C'了,
过点A做BC的平行线L,
做L和BC的平行线B1C1,使得B1平分AB,则C1平分AC,
看看B1C1和B'C'是否重合,
如果不重合,再做BC的平行线将AB段4等分,看看是否有线和B'C'重合,没有就继续8等分.
如此重复...
B'C'与离它最近的平行线之间的距离将越来越小,直到小于任何给定的数值,也就是将趋于无穷小.
这时,AB'之间有m个间隔,B'B之间有n个间隔,则AB':B'B=m:n,
同样,AC'之间有m个间隔,C'C之间有n个间隔,则AC':C'C=m:n,
△ABC和△AB'C',∠A=∠A,AB':AB=AC':AC=m:(m+n).
所以
△ABC∽△AB'C',
AB:AC:BC=AB':AC':B'C'.