小题1:（1）如图，∵ 圆以点 A （3,0）为圆心，5为半径，
∴ 根据圆的对称性可知 B （－2，0）， C （8，0）．
连结
．
在Rt△ AOD 中，∠ AOD =90°， OA =3， AD =5，
∴ OD =4．
∴ 点 D 的坐标为（0,－4）．
设抛物线的解析式为
，
又 ∵抛物线经过点 C （8，0），且对称轴为
，
∴
解得
∴所求的抛物线的解析式为
．---------------------------------2分
小题2:（2）存在符合条件的点 F ，使得以
点 B 、 C 、 E 、 F 为顶点的四边形是平行四边形．
分两种情况．
Ⅰ：当 BC 为平行四边形的一边时，
必有
∥
，且 EF = BC =10．
∴ 由抛物线的对称性可知，
存在平行四边形
和平行四边形
．如（图1）．
∵ E 点在抛物线的对称轴上，∴设点 E 为（3，
），且
＞0．
则 F 1（－7， t ）， F 2（13， t ）．
将点 F 1、 F 2分别代入抛物线的解析式，解得
．
∴
点的坐标为
或
．
Ⅱ：当 BC 为平行四边形的对角线时，
必有 AE = AF ，如（图2）．
∵ 点 F 在抛物线上，∴ 点 F 必为抛物线的顶点．
由
，
知抛物线的顶点坐标是（
，
）．
∴此时
点的坐标为
．
∴ 在抛物线上存在点 F ，使得以点 B 、 C 、 E 、 F 为顶点的四边形是平行四边形．
满足条件的点 F 的坐标分别为：
，
，
．
---------------------------------------------------- 8分
略