Question

如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,点M在AD 1 上移动,点N在BD上移动,D

Answer 1

(1)见解析 (2) 当a=

时,MN的长有最小值

(1)作MP∥AD,交DD ₁于P,作NQ∥BC,交DC于Q,连接PQ.

由题意得MP∥NQ,且MP=NQ,

则四边形MNQP为平行四边形.

∴MN∥PQ.

又PQ⊂平面DCC ₁D ₁,MN⊄平面DCC ₁D ₁,

∴MN∥平面DCC ₁D ₁.

(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形,

∴MN=PQ,

由已知D ₁M=DN=a,DD ₁=AD=DC=1,

∴AD ₁=BD=

,

∴D ₁P∶1=a∶

,DQ∶1=a∶

,

即D ₁P=DQ=

.

∴MN=PQ=

=

=

(0

),

故当a=

时,MN的长有最小值

.

即当M,N分别移动到AD ₁,BD的中点时,MN的长最小,此时MN的长为

.