Question

已知数列{a n }是首项为1的等差数列，其公差d＞0，且a 3 ，a 7 +2，3a 9 成等比数列．

Answer 1

（Ⅰ）因为a _n=1+（n-1）d，则a ₃=1+2d，a ₇=1+6d，a ₉=1+8d．（3分）

由已知， ( a 7 +2) 2 =a ₃•3a ₉，则（3+6d） ²=3（1+2d）（1+8d），即2d ²-d-1=0．（5分）

所以（2d+1）（d-1）=0．

因为d＞0，则d=1，

故a _n=n．（6分）

（Ⅱ）设S _n=a ₁+

a 2

2 +

a 3

2 2 +…+

a n

2 n-1 ，则S _n=1+

2

2 +

3

2 2 +…+

n

2 n-1 ，

则

1

2 S _n=

1

2 +

2

2 2 +…+

n

2 n ．（8分）

两式相减得，

1

2 S _n=1+

1

2 +

1

2 2 +

1

2 3 +…+

1

2 n-1 -

n

2 n =

1-

1

2 n

1-

1

2 -

n

2 n =2-

n+2

2 n ．

所以S _n=4-

n+2

2 n-1 ．（12分）

因为

n+2

2 n-1 ＞0，则4-

n+2

2 n-1 ＜4，故a ₁+

a 2

2 +

a 3

2 2 +…+

a n

2 n-1 ＜4．（13分）