Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2

Answer 1

Ⅰ.因为以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4（根号2+1） 所以2a+2c=4（根号2+1） 又因为离心率为根号2/2,所以c/a=根号2/2,所以a=2倍根号2 c=2 b=2 所以椭圆方程为x^2/8+y^2/4=1 因为双曲线是等轴双曲线 所以双曲线中 a=b 又因为等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 所以双曲线中 a=b=2 所以双曲线的标准方程x^2/4-y^2/4=1 Ⅱ.设P(m,n) 因为P为该双曲线上异于顶点的任一点,所以P满足双曲线方程,化简得m^2-n^2=4 F1(-2,0),F2(2,0) KI*K2=[n/(m+2)]*[n/m-2]=n^2/(m^2-4) 所以,由m^2-n^2=4,得KI*K2=1