Question

（文）不等式xy≤ax2+2y2 对任意x∈[1，2]及y∈[2，3]恒成立，则实数a的范围是（　　）

Answer 1

解题思路：将a分离出来得

a≥

y

x

−2

(

y

x

)

2

，然后根据x∈[1，2]，y∈[2，3]求出[y/x]的范围，令

t＝

y

x

，则a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出t-2t²的最大值，即可求出a的范围．

由题意可知：不等式xy≤ax²+2y²对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，

即：a≥

y

x−2(

y

x)2，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，

令 t＝

y

x，则1≤t≤3，

∴a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，

∵y＝−2t2+t＝−2(t−

1

4)2+

1

8

∴y_max=-1，

∴a≥-1

故选C．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查了函数恒成立问题，以及分离法的应用，同时考查了二次函数在闭区间上的值域，属于中档题．