Question

数列{an}{bn}中，a 1＝1，b1＝2，且an+1+(−1)nan＝bn，n∈N*，设数列{an}{bn

Answer 1

解题思路：（1）根据数列{a_n}是等差数列可得a_n=2n-1，然后求出A_n，分情况即可表示出B_n；

（2）①根据等比数列的前n项和公式即可求出A₂₀₁₃；

②分情况讨论，n是奇数和偶数时的A_n，从而得出A_4n，假设存在符合条件的m，建立方程组求解．

（1）∵a 1＝1，b1＝2，且an+1+(−1)nan＝bn，n∈N^*

∴a₂-a₁=b₁，

即a₂=3，

∵数列{a_n}是等差数列，

∴d=a₂-a₁=3-1=2．

∴a_n=2n-1，

∴An＝

n(1+2n−1)

2＝n2，

当n是奇数时，

B_n=b₁+b₂+…+b_n

=（a₂-a₁）+（a₃+a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n+1-a_n）

=-a₁+2（a₂+a₄+…+a_n-1）+a_n+1

=n²+3n．

∴Bn＝

n2+n，n是奇数

n2+3n，n是偶数．

（2）①A₂₀₁₃=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃

=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）

=a₁+b₂+b₄+b₆+…+b₂₀₁₂

=a1+b2

1−(q2)1006

1−q2

=

2(q2)1006

q2−1+

q2−2q−1

q2−1．

②一般地，当n是奇数时，

A_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n

=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）

=a₁+b₂+b₄+b₆+…+b_n-1

=a1+b2

1−(q2)

n−1

2

1−q2

=

2qn

q2−1+

q2−2q−1

q2

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列递推式的应用，等差数列和等比数列的概念和性质，存在性问题的解题技巧，分析和处理数据的能力，属于难题．