Question

在直角坐标系中，已知点列P1（1，-[1/2]），P2（2，[122），P3（3，-123），…，Pn（n，(−1/2)

Answer 1

解题思路：（1）由题设知直线P_nP_n+1的方程为：

y−

(−

1

2

)

n

x−n

＝

(−

1

2

)

n+1

−

(−

1

2

)

n

(n+1)−n

=

(−

3

2

)

(−

1

2

)

n

，令y=0，得x_n=x=

n+

2

3

．

（2）由

S

n

＝

1

2

n+2

，知数列{a_n}是首项为[1/8]，公比为[1/2]的等比数列，由此能求出无穷数列{S_n}的各项和．

（1）∵P_n（n，(−

1

2)n），P_n+1（n+1，(−

1

2)n+1），

∴直线P_nP_n+1的方程为：

y−(−

1

2)n

x−n＝

(−

1

2)n+1−(−

1

2)n

(n+1)−n]=(−

3

2) (−

1

2)n，

∴令y=0，得−(−

1

2)n＝(−

3

2) (−

1

2)n(x−n)，

整理，得x-n=[2/3]，

∴x_n=x=n+

2

3．

即xn＝n+

2

3，n∈N*．

（2）由题设条件能够导出Sn＝

1

2n+2，

∴数列{a_n}是首项为[1/8]，公比为[1/2]的等比数列，

∴S=

lim

n→∞S_n=

1

8

1−

1

2=[1/4]．

点评：

本题考点： 数列与解析几何的综合；数列的函数特性；数列的求和；数列的极限．

考点点评： 本题考查数列现解析几何的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．