Question

设f（x）=（4x+4-x）-a（2x+2-x）+a+2（a为常数）

Answer 1

解题思路：（1）利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质进行求解即可．

（2）根据二次函数的图象和性质，建立值域关系即可求出a的值．

设t=2^x+2^-x，则t≥2，则4^x+4^-x=t²-2，

∴f（x）=（4^x+4^-x）-a（2^x+2^-x）+a+2等价为y=g（t）=t²-2-at+a+2=t²-at+a．

（1）若a=-2，则y=g（t）=t²+2t-2=（t+1）²-3，

∵t≥2，

∴g（t）在[2，+∞）上单调递增，

∴当t=2时，函数取得最小值g（2）=4+4-2=6．

（2）要使f（x）的值域为[-1，+∞），

则函数g（t）的最小值为-1，

即

4a−(−a)2

4＝

a2+4a

4＝−1，

即a²+4a+4=0，

∴（a+2）²=0，

解得a=-2．

点评：

本题考点： 复合函数的单调性；函数的值域．

考点点评： 本题主要考查二次函数的图象和性质，利用换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，要求熟练掌握二次函数的图象和性质．