解题思路：（1）由▱ABCD得到OA=OC，OB=OD，根据等边三角形得出OA=OB，求出AC=BD，即可推出结论；
（2）由DE∥AC，AE∥BD得到平行四边形AODE，根据矩形的性质得出OA=OD，即可推出结论．
（1）证明：∵▱ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA=OB，
∴AC=BD，
又∵▱ABCD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴四边形AODE是菱形．
点评：
本题考点： 平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定与性质．
考点点评： 本题主要考查对矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是证此题的关键．