Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1，M为AB中点，D在A1B1上且A1D=3DB1．

Answer 1

解题思路：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面CMD⊥平面ABB1A1；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角C-BD-M的余弦值．

（1）∵，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁，M为AB中点，

∴CM⊥AB，

则直三棱柱中，平面ABC⊥ABB₁A₁，

∴CM⊥ABB₁A₁，

∵CM⊂平面ABB₁A₁，

∴平面CMD⊥平面ABB₁A₁；

（2）以为C₁坐标原点，建立空间直角坐标系如图，

∵AC=BC=CC₁，

∴设=AC=BC=CC₁=1，

则A（1，0，1），B（0，1，1），C（0，0，1），M（[1/2，

1

2，1），则

CM]=（[1/2]，[1/2]，0）

由（1）知CM⊥ABB₁A₁，

∴

CM是平面ABB₁A₁的法向量，

A₁（1，0，0），B₁（0，1，0），

∵A₁D=3DB₁．

∴

A1D=3

DB1，设D（x，y，0），

则（x-1，y，0）=3（-x，1-y，0），

即

x-1=-3x

y=1-y，

则

x=

1

4

y=

1

2，即D（[1/4]，[1/2]，0），

则

CB=（0，1，0），

BD=（[1/4]，-[1/2]，-1），

设平面CBD的法向量为

n=（x，y，z），

则

n•

CB=y=0

n•

BD=

1

4x-

1

2y-z=0，

即

y=0

x=4z，设z=1，在x=4，

即法向量

n=（4，0，1），

则cos＜

n，

CM＞=

n•

CM

|

n|•|

CM|=

2

17•

1

2=

2

34

17

即二面角C-BD-M的余弦值

2

34

17．

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题主要考查面面垂直的判断依据空间二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决空间二面角问题的基本方法．