第一个问题：
∵sinA［cos（C/2）］^2＋sinC［cos（A/2）］^2＝（3/2）sinB,
∴2sinA［cos（C/2）］^2＋2sinC［cos（A/2）］^2＝3sinB,
∴sinA（1＋cosC）＋sinC（1＋sinA）＝3sinB,
∴sinA＋sinC＋sinAcosC＋cosAsinC＝3sinB,
∴sinA＋sinC＋sin（A＋C）＝3sinB, ∴sinA＋sinC＋sin（180°－B）＝3sinB,
∴sinA＋sinC＝2sinB. 结合正弦定理,容易得到：a＋c＝2b, ∴a、b、c成等差数列.
第二个问题：
∵a＋c＝2b, ∴a^2＋c^2＋2ac＝4b^2,∴（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）＝3b^2/（2ac）－1.
结合余弦定理,得：
cosB＝3b^2/（2ac）－1＝3（a＋c）^2/（8ac）－1＝3（a^2＋c^2＋2ac）/（8ac）－1
＝3（a/c＋c/a＋2）/8－1≧3（2＋2）/8－1＝3/2－1＝1/2.
∴0°＜B≦60°.
即：∠B的取值范围是（0°,60°］.
第三个问题：
y＝cos2B/（sinB＋cosB）＝［（cosB）^2－（sinB）^2］/（cosB＋sinB）＝cosB－sinB
＝－（sinB－cosB）＝－√2sin（B－45°）.
∵0°＜B≦60°,∴－45°＜B－45°≦15°,∴－1/√2＜sin（B－45°）≦（√6－√2）/4,
∴－1＜√2sin（B－45°）≦（√3－1）/2,∴（1－√3）/2≦－√2sin（B－45°）＜1.
即y的取值范围是［1/2－√3/2,1）.