Question

请问N阶方阵证明题设A是n阶方阵,证明：(1) |kA|=k^n|A| (k为非零常数)(2)|AA'|=|A|^2(3

Answer 1

主要工具都是|MN|=|M|*|N|

(1) kA=(kE)A,所以|kA|=|kE|*|A|.kE是n阶对角阵,对角元全为k,所以行列式|kE|=k*k*...*k=k^n.所以|kA|=k^n|A|

(2) |AA'|=|A|*|A'|.A'是A的转置方阵,总有|A'|=|A|,所以|AA'|=|A|*|A|=|A|^2

(3) 若AA'=E,由(2)可知|A|^2=|AA'|=|E|=1,所以|A|=±1