解题思路：①可根据h（x）在R上单调性和值域确定h（x）=0只有一个实数根正确；
②当n=0时，h（x）=x|x|+mx，再由函数奇偶性的定义可判断为奇函数；
③分别表示出h（x）与h（-x），然后相加得到h（x）+h（-x）=2n，即可得到函数y=h（x）图象关于点（0，n）对称，从而判断正误；
④令m＞0，n＞0，然后画出函数h（x）的图象可判断方程h（x）=0有两个不等实根不正确．
①当m=0时，h（x）=
x2+n，x≥0
−x2+n，x＜0，函数h（x）在R上单调递增，且值域为R，故h（x）=0只有一个实数根正确，即①正确；
②当n=0时，函数h（x）=x|x|+mx+n=x|x|+mx，所以h（-x）=-x|-x|-mx=-h（x）
∴函数h（x）为奇函数，②不正确；
③∵h（x）=x|x|+mx+n，h（-x）=-x|-x|-mx+n
∴h（x）+h（-x）=x|x|+mx+n+（-x|-x|-mx+n）=2n
∴函数y=h（x）图象关于点（0，n）对称，故③正确；
④当m≠0，n≠0时，例如m=3，n=-2时，h（x）=
−x2+mx+n，x＜0
x2+mx+n，x≥0，与x轴的交点的个数为3个，④不正确．
故答案为①③
点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．
考点点评： 本土主要考查二次函数的图象和性质，考查二次函数的根的个数的判定和对称性．