在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△A

2个回答

  • 解题思路:根据题意设出点P的坐标,求出曲线方程的导函数,把点P的横坐标代入导函数求出的导函数值即为切线的斜率,根据切点和斜率表示出切线的方程,分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标,由交点坐标表示出△AOB的面积S,利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值,把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值.

    根据题意设P的坐标为(t,-t3+1),且0<t<1,

    求导得:y′=-3x2,故切线的斜率k=y′|x=t=-3t2

    所以切线方程为:y-(-t3+1)=-3t2(x-t),

    令x=0,解得:y=2t3+1;令y=0,解得:x=

    2t3+1

    3t2,

    所以△AOB的面积S=[1/2](2t3+1)•

    2t3+1

    3t2=[1/6](2t2+

    1

    t) 2,

    设y=2t2+[1/t]=2t2+[1/2t]+[1/2t]≥3

    32t2•

    1

    2t•

    1

    2t

    当且仅当2t2=[1/2t],即t3=[1/4],即t=

    3

    1

    4

    取等号,

    把t=

    3

    1

    4

    代入得:Smin=

    3

    32

    4.

    故答案为:

    3

    32

    4

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: 解本题的思路是设出切点P的坐标,求出曲线方程的导函数,把P的横坐标代入导函数中求出切线的斜率,由切点坐标和斜率写出切线方程,求出切线与两坐标轴的交点坐标,进而表示出三角形ABC的面积S,变形后利用基本不等式即可求出S最小时P横坐标的值,把此时P的横坐标代入S即可求出S的最小值.要求学生掌握求导法则以及会利用基本不等式求函数的最小值.