解题思路:根据题意设出点P的坐标,求出曲线方程的导函数,把点P的横坐标代入导函数求出的导函数值即为切线的斜率,根据切点和斜率表示出切线的方程,分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标,由交点坐标表示出△AOB的面积S,利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值,把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值.
根据题意设P的坐标为(t,-t3+1),且0<t<1,
求导得:y′=-3x2,故切线的斜率k=y′|x=t=-3t2,
所以切线方程为:y-(-t3+1)=-3t2(x-t),
令x=0,解得:y=2t3+1;令y=0,解得:x=
2t3+1
3t2,
所以△AOB的面积S=[1/2](2t3+1)•
2t3+1
3t2=[1/6](2t2+
1
t) 2,
设y=2t2+[1/t]=2t2+[1/2t]+[1/2t]≥3
32t2•
1
2t•
1
2t
,
当且仅当2t2=[1/2t],即t3=[1/4],即t=
3
1
4
取等号,
把t=
3
1
4
代入得:Smin=
3
32
4.
故答案为:
3
32
4
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 解本题的思路是设出切点P的坐标,求出曲线方程的导函数,把P的横坐标代入导函数中求出切线的斜率,由切点坐标和斜率写出切线方程,求出切线与两坐标轴的交点坐标,进而表示出三角形ABC的面积S,变形后利用基本不等式即可求出S最小时P横坐标的值,把此时P的横坐标代入S即可求出S的最小值.要求学生掌握求导法则以及会利用基本不等式求函数的最小值.