,我只能说一个思路：
1.先搞清楚自然数是怎么定义的.(涉及到集合论,后继,序）
2.然后在定义的这个结构（自然数集）上定义一种运算（即一种2元函数）
定义方法如下：
f(a,1)=a' a'即a的后继
f(a,0)=a
f(a,b)=f(b,a) (即交换律是定义的)
f(a,f(b,c))=f(f(a,b),c) （即结合率）
3.然后证明这个定义是合理的,即按这种定义定义的2元函数存在且唯一.
4.最后验证这个定义恰好和我们平常的加法一样,也就是说加法具有交换律.
在更一般的数学结构（比如说群）上,交换律也一般作为定义或类似于公理的形式给出.当然类似的证明也是存在的,但是很麻烦.