已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,记g(x)=f(x)[f(x)+2f

3个回答

  • 解题思路:函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,KD f(x)=logax(x>0).

    g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]=logax(logax+loga2-1)=

    (lo

    g

    a

    x+

    lo

    g

    a

    2−1

    2

    )

    2

    -

    (lo

    g

    a

    2−1

    )

    2

    4

    ,对a分类讨论,利用二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性即可得出.

    ∵函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,

    ∴f(x)=logax(x>0).

    g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]=logax(logax+loga2-1)

    =(logax+

    loga2−1

    2)2-

    (loga2−1)2

    4,

    ①当a>1时,y=logax在区间[[1/2],2]上是增函数,∴logax∈[loga

    1

    2,loga2].

    由于y=g(x)在区间[[1/2],2]上是增函数,∴

    1−loga2

    2≤loga

    1

    2,化为loga2≤-1,解得a≤

    1

    2,应舍去.

    ②当0<a<1时,y=logax在区间[[1/2],2]上是减函数,∴logax∈[loga2,loga

    1

    2].

    由于y=g(x)在区间[[1/2],2]上是增函数,∴

    1−loga2

    2≥loga

    1

    2,解得0<a≤

    1

    2.

    综上可得:0<a≤

    1

    2.

    故选:D.

    点评:

    本题考点: 反函数;指数函数的图像与性质.

    考点点评: 本题可怜虫反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.