解题思路:函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,KD f(x)=logax(x>0).
g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]=logax(logax+loga2-1)=
(lo
g
a
x+
lo
g
a
2−1
2
)
2
-
(lo
g
a
2−1
)
2
4
,对a分类讨论,利用二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性即可得出.
∵函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,
∴f(x)=logax(x>0).
g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]=logax(logax+loga2-1)
=(logax+
loga2−1
2)2-
(loga2−1)2
4,
①当a>1时,y=logax在区间[[1/2],2]上是增函数,∴logax∈[loga
1
2,loga2].
由于y=g(x)在区间[[1/2],2]上是增函数,∴
1−loga2
2≤loga
1
2,化为loga2≤-1,解得a≤
1
2,应舍去.
②当0<a<1时,y=logax在区间[[1/2],2]上是减函数,∴logax∈[loga2,loga
1
2].
由于y=g(x)在区间[[1/2],2]上是增函数,∴
1−loga2
2≥loga
1
2,解得0<a≤
1
2.
综上可得:0<a≤
1
2.
故选:D.
点评:
本题考点: 反函数;指数函数的图像与性质.
考点点评: 本题可怜虫反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.