Question

如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=9

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）取AB的中点H，BC的中点G，可以先得HG∥平面DA₁C₁以及可证得MG∥平面DA₁C₁，进而得到平面MGH∥平面DA₁C₁

从而得到结论；

（Ⅱ）先根据条件得到∠DAC是二面角D-A₁A-C的平面角；在通过求其边长即可得到结论．

（Ⅰ）取AB的中点H，BC的中点G，连接MH、HG、MG，

∵3BN=ND∴N是OB的中点

∴MG过N点∵HG∥AC，AC∥A₁C₁

∴HG∥A₁C₁

又∵HG不在平面DA₁C₁，A₁C₁⊂平面DA₁C₁

∴HG∥平面DA₁C₁

同理可证得MG∥平面DA₁C₁

又∵MG∩HG=G

∴平面MGH∥平面DA₁C₁

∵MN⊂平面MGH

∴MN∥平面DA₁C…（7分）

（Ⅱ）∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD 且两平面的交线为AC，又∠A₁AC=90°

∴A₁A⊥平面ABCD

∴A₁A⊥AC，A₁A⊥AD

∴∠DAC是二面角D-A₁A-C的平面角

∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°，

∴∠BAC=120°，又因为菱形对角线平分内角，

∴∠DAC=60°

∴二面角D-A₁A-C的大小为60⁰．

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题主要考察与二面角以及线面平行得证明有关的立体几何综合题．一般在证明线面平行时，转化为证面面平行．