Question

设函数 f(x)=( 1 2 ) x ，数列{a n }满足 a 1 =f(0)，f( a n +1)= 1 f(-2-

Answer 1

（1）∵ f(x)=(

1

2 ) x ∴ a 1 =f(0)=(

1

2 ) 0 =1 ，

又∵ f( a n+1 )=

1

f(-2- a n )

∴ (

1

2 ) a n+1 =

1

(

1

2 ) -2- a n =(

1

2 ) a n +2 ．…（2分）

∴a _n+1=a _n+2即 a _n+1-a _n=2，∴数列{a _n}是首项为1，公差为 2 的等差数列

∴a _n=1+（n-1）×2=2n-1．…（5分）

（2）∵ b n =(

1

2 ) a n =(

1

2 ) 2n-1 ∴

b n+1

b n =

(

1

2 ) 2n+1

(

1

2 ) 2n-1 =

1

4 …（6分）

即数列{b _n}是首项为

1

2 ，公比为

1

4 的等比数列

∴ S n = b 1 + b 2 +…+ b n =

1

2 [1- (

1

4 ) n ]

1-

1

4 =

2

3 [1-(

1

4 ) n ] …（7分） T n =

1

a 1 a 2 +

1

a 2 a 3 +…+

1

a n a n-1 =

1

1×3 +

1

3×5 +…+

1

(2n-1)(2n+1) =

1

2 [(1-

1

3 )+(

1

3 -

1

5 )+…+(

1

2n-1 -

1

2n+1 )]=

1

2 (1-

1

2n+1 ) …（10分）

∴

4

3 T n =

2

3 (1-

1

2n+1 )

故比较 S n 与

4

3 T n 的大小，只需比较 (

1

4 ) n 与

1

2n+1 的大小即可…（11分）

即只需比较 2n+1与4 ⁿ的大小

∵4 ⁿ=（1+3） ⁿ=1+C _n ¹•3+…≥3n+1＞2n+1…（12分）

故 S n ＞

4

3 T n …（13分）