Question

（1）已知z为虚数， z+ 9 z-2 为实数，若z-2为纯虚数，求虚数z；

Answer 1

（1）z为虚数且z-2为纯虚数，可设z=2+bi（b∈R，b≠0）

又 z+

9

z-2 =2+bi+

9

bi =2+bi-

9

b i=2+（b-

9

b ）i为实数，

所以b-

9

b =0，b=±3

所以z=2±3i．

（2）设z=a+bi（a，b∈R，）

则

z-2

z+2 =

(a-2)+bi

(a+2)+bi =

( a 2 + b 2 -4)+4bi

(a+2) 2 + b 2

由于

z-2

z+2 为纯虚数，所以

( a 2 + b 2 -4)

(a+2) 2 + b 2 =0

4b

(a+2) 2 + b 2 ≠0

即a ²+b ²=4，且b≠0．①

∴M=|w+1| ²+|w-1| ²=（a+1） ²+（b+1） ²+（a-1） ²+（b+1） ²

=2（a ²+b ²）+4b+4

=12+4b

由①可得出b∈[-2，2]且b≠0，所以b的最大值为2，从而M的最大值为20．

此时a=0，w=z+i=2i+i=3i．