Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =2，a 2 =8，S n+1 +4S n-1 =5S n （n≥2

Answer 1

（1）∵当n≥2时，S _n+1+4S _n-1=5S _n，

∴S _n+1-S _n=4（S _n-S _n-1）．∴a _n+1=4a _n．

∵a ₁=2，a ₂=8，∴a ₂=4a ₁．

∴数列{a _n}是以a ₁=2为首项，公比为4的等比数列．

∴ a n =2• 4 n-1 = 2 2n-1 ．

（2）由（1）得：log ₂a _n=log ₂2 ^2n-1=2n-1，

∴T _n=log ₂a ₁+log ₂a ₂+…+log ₂a _n=1+3+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

2 =n ²．

（3） (1-

1

T 2 )(1-

1

T 3 )•…•(1-

1

T n ) = (1-

1

2 2 )(1-

1

3 2 )•…•(1-

1

n 2 )

=

2 2 -1

2 2 •

3 2 -1

3 2 •

4 2 -1

4 2 •…•

n 2 -1

n 2 =

1•3•2•4•3•5•…•(n-1)(n+1)

2 2 • 3 2 • 4 2 •…• n 2 =

n+1

2n ．

令

n+1

2n ＞

1010

2013 ，解得： n＜287

4

7 ．

故满足条件的最大正整数n的值为287．