Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b．

Answer 1

解题思路：（1）欲证EF∥平面ABC，关键在平面ABC内找一直线与EF平行，根据中位线可知EF∥A₁C₁而A₁C₁∥AC则EF∥AC；

（2）欲证A₁C₁⊥AB，可先证A₁C₁⊥平面A₁ABB₁，根据线面垂直的判定定理可知只需证AB₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥AA₁；

（3）过A₁作A₁G⊥AC₁于点G，先证A₁G⊥平面ABC₁，从而得到A₁G即为所求的距离，在三角形中求出该距离即可．

（1）证明：∵E、F分别为AB₁、BC₁的中点，

∴EF∥A₁C₁．∵A₁C₁∥AC，∴EF∥AC．

∴EF∥平面ABC．

（2）证明：∵AB=CC₁，∴AB=BB₁．又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB₁A₁为正方形．连接A₁B，则A₁B⊥AB₁．

又∵AB₁⊥BC₁，∴AB₁⊥平面A₁BC₁．

∴AB₁⊥A₁C₁．

又A₁C₁⊥AA₁，∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁．

∴A₁C₁⊥AB．

（3）∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁∥平面ABC₁．

∴A₁到平面ABC₁的距离等于B₁到平面ABC₁的距离．

过A₁作A₁G⊥AC₁于点G，

∵AB⊥平面ACC₁A₁，

∴AB⊥A₁G．从而A₁G⊥平面ABC₁，故A₁G即为所求的距离，即A₁G=[a/b]

b2−a2，

∴点B₁到平面ABC₁的距离[a/b]

b2−a2．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及点、线、面间的距离计算等有关知识，属于基础题．