Question

已知函数f（x）=2x2+ax-1，g（log2x）=x2-[x2a−2．

Answer 1

解题思路：（1）令t=log2t，则x=2t，故g（x）=（2x）2-42a•2t．由此能求出当a=1时，不等式g（x）＜8的解集．（2）①由-a4＝−t2−3+4t2，知a=2（t2-4t+3）=2（t-2）2-2，由t∈[1，4]，得a∈[-2，6]．②由(2x)2−42a•2x＜8在x∈（-∞，a]上恒成立，知42a＞2x−82x在x∈（-∞，a]上恒成立．综合①②，能求出符合条件的实数a的取值范围．

（1）令t=log₂t，则x=2^t，

∴g（t）=（2^t）²-

2t

2a−2=（2^t）²-

4

2a•2t，即g（x）=（2^x）²-

4

2a•2x．

当a=1时，不等式g（x）＜8，即（2^x）²-2•2^x-8＜0．

∴2^x＜4，解得x＜2．

∴不等式g（x）＜8的解集是{x|x＜2}．

（2）①由题意，-

a/4＝

−t2−3+4t

2]，即a=2（t²-4t+3）=2（t-2）²-2，

由t∈[1，4]，得a∈[-2，6]．

②由题意，(2x)2−

4

2a•2x＜8在x∈（-∞，a]上恒成立．

即[4

2a＞2x−

8

2x在x∈（-∞，a]上恒成立．

令μ=2^x，则μ∈（0，2^a]，∴

4

2a＞μ−

8/μ]．

∵函数h(μ)＝μ−

8

μ在（0，2^a]上为增函数，

∴hmax(μ)＝h(2a)＝2a−

8

2a，

∴

4

2a＞2a−

8

2a，解得2a＜2

3，

∴a＜log22

3．

综合①②，符合条件的实数a的取值范围是{a|-2≤a＜log22

3}．

点评：

本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质；一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查不等式的解法和实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．