Question

已知函数f（x）=1+a•(12)x+(14)x；g（x）=1−m•2x1+m•2x．

Answer 1

（I）当a=1时，f（x）=1+(

1

2)x+(

1

4)x；

因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞）

（II）由题意知，对任意x∈[0，+∞），总有-3≤f（x）≤3成立．

∴−4−(

1

4)x≤a•(

1

2)x≤2−(

1

4)x

∴−4•2x−(

1

2)x≤a≤2•2x−(

1

2)x在[0，+∞）上恒成立，

∴[−4•2x−(

1

2)x]max≤a≤[2•2x−(

1

2)x]min

设2^x=t，则t≥1，设h（t）=-4t-[1/t]，p（t）=2t-[1/t]，

∴h′(t)＝−4+

1

t2＜0，p′（t）=2+[1

t2＞0

∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增

∴在[1，+∞）上，h（t）_max=h（1）=-5，p（t）_min=p（1）=1

∴实数a的取值范围为[-5，1]；

（Ⅲ）g（x）=

1−m•2x

1+m•2x=-1+

2

1+m•2x．

∵m＞0，x∈[0，1]

∴g（x）在[0，1]上递减

∴g（1）≤g（x）≤g（0），即

1−2m/1+2m≤g(x)≤

1−m

1+m]

①当|

1−2m

1+2m|≤|

1−m

1+m|，即m∈（0，