解题思路：利用函数与坐标轴的性质．
当a=0时，函数为：y=3x+1，图象为直线，与x轴有且只有一个交点（-[1/3]，0）；
当a≠0时，函数为：y=ax2-ax+3x+1，图象为抛物线，△=（3-a）2-4•a•1=a2-10a+9；当△=0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，此时a=1或9；
若a=1，抛物线为y=x2+2x+1，图象与x轴有且只有一个交点（-1，0）；
若a=9，抛物线为y=9x2-6x+1，图象与x轴有且只有一个交点（[1/3]，0）．
故当a=0，交点坐标（-[1/3]，0）；当a=1，交点坐标（-1，0）；当a=9，交点坐标（[1/3]，0）．
点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．
考点点评： 本题围绕着a的取值，分类讨论，是直线与抛物线解析式的综合题．