Question

已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2，求数列{|an|}的前n项和Tn．

Answer 1

解题思路：由S_n=12n-n²知S_n是关于n的无常数项的二次函数（n∈N^*），可知{a_n}为等差数列，求出a_n，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，然后求解T_n．

当n=1时，a₁=S₁=12-1²=11；

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=12n-n²-[12（n-1）-（n-1）²]=13-2n．

∵n=1时适合上式，

∴{a_n}的通项公式为a_n=13-2n．

由a_n=13-2n≥0，得n≤[13/2]，

即当 1≤n≤6（n∈N^*）时，a_n＞0；当n≥7时，a_n＜0．

（1）当 1≤n≤6（n∈N^*）时，

T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=12n-n²．

（2）当n≥7（n∈N^*）时，

T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=（a₁+a₂+…+a₆）-（a₇+a₈+…+a_n）=-（a₁+a₂+…+a_n）+2（a₁+…+a₆）

=-S_n+2S₆=n²-12n+72．

∴T_n=

12n−n2

n2−12n+72

(1≤n≤6，n∈，*)，

(n≥7，n∈，*).．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列前n项和与通项公式的应用，考查转化思想与计算能力．